ZHCADV3 February 2024 TPS51397A , TPS54308 , TPS54320 , TPS54350 , TPS54538 , TPS54620 , TPS54622 , TPS54821 , TPS54824 , TPS563300 , TPS566231 , TPS566235 , TPS566238 , TPS568230 , TPS56C215 , TPS62933 , TPS62933F , TPS62933O

5 零點(diǎn)和極點(diǎn)分析

下面對(duì)極點(diǎn)和零點(diǎn)進(jìn)行了分析。在開環(huán)傳遞函數(shù)方程式 15 中，G_EA(s) 和 G_ci(s) 生成的極點(diǎn)和零點(diǎn)與沒有第二級(jí)濾波器的通用 PCM 降壓轉(zhuǎn)換器中的極點(diǎn)和零點(diǎn)相同。

帶有 II 型補(bǔ)償?shù)?G_EA(s) 由一個(gè)頻率接近零的初始極點(diǎn) f_P1-EA、一個(gè)中頻零點(diǎn) f_Z-EA 和一個(gè)高頻極點(diǎn) f_P2-EA 組成：

方程式 16.

f_{Z-EA} = \frac{1}{2π R_{COMP} C_{COMP}}

方程式 17.

f_{P2-EA} = \frac{1}{2π R_{COMP} C_{O_EA}}

一個(gè)極點(diǎn)由 G_ci(s) 生成，頻率為：

方程式 18.

f_{P - ci} = \frac{V_{IN} R_{i} f_{sw}}{2π [V_{Se} f_{sw} L+ ({0.5V}_{IN} - V_{O}) R_{i}]}

對(duì)方程式 15 中的其余部分計(jì)算 Z_O(s) x G_FB-TOTAL(s)，可以得到：

方程式 19.

Z_{O} (s)× G_{FB-TOTAL} (s) = \frac{R_{2} (R_{L} + C_{ff} R_{1} R_{L} s+ C_{ff} L_{2} R_{1} s^{2} + C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} R_{L} s^{3})}{(R_{1} + R_{2} + C_{ff} R_{1} R_{2} s) [C_{2} C_{O} L_{2} R_{L} s^{3} + C_{O} L_{2} s^{2} + (C_{2} + C_{O}) R_{L} s+1]}

如前所述，先前的傳遞函數(shù)有四個(gè)極點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)。在所有參數(shù)中，當(dāng)負(fù)載電流變化時(shí)，輸出負(fù)載電阻 R_L 會(huì)在運(yùn)行過程中發(fā)生變化。圖 5-1 展示了不同的 R_L 下的頻率響應(yīng)。

圖 5-1 不同 R_L 下公式 (19) 的頻率響應(yīng)

如圖 5-1 所示，不同 R_L 下的中頻和高頻響應(yīng)幾乎相同。然而，在低頻范圍內(nèi)，較大 R_L 下的響應(yīng)具有較小的相位。對(duì)于低帶寬的電源解決方案設(shè)計(jì)，這可能會(huì)導(dǎo)致較小的相位裕度。因此，較大的 R_L 對(duì)應(yīng)于較差的穩(wěn)定性情況。

為了簡(jiǎn)化方程式 19，考慮輸出電阻為無窮大（即 R_L->+∞）時(shí)的最壞情況：

方程式 20.

Z_{O} (s)× G_{FB-TOTAL} (s) |_{R_{L} →+ ∞} ≈ \frac{R_{2} (1+ C_{ff} R_{1} s+ C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} s^{3})}{s (R_{1} + R_{2} + C_{ff} R_{1} R_{2} s) [C_{2} C_{O} L_{2} s^{2} + (C_{2} + C_{O})]}

圖 5-2 展示了上述傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)映射。

圖 5-2 公式 (20) 中零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置

方程式 20 中的四個(gè)極點(diǎn)包括一個(gè)頻率為 0Hz 的初始極點(diǎn) P_out、一個(gè)頻率為 f_Pff 的極點(diǎn) P_ff 和一對(duì)頻率為 f_P-2nd 的共軛極點(diǎn) P_2nd。f_Pff 和 f_P-2nd 的表達(dá)式如方程式 21 和方程式 22 所示：

方程式 21.

f_{Pff} = \frac{1}{2π C_{ff}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})

方程式 22.

f_{P-2nd} = \frac{1}{2π \sqrt{\frac{C_{2} C_{O}}{C_{2} + C_{O}} L_{2}}}

方程式 20 中的三個(gè)零點(diǎn)包括一個(gè)頻率為 f_Zff 的零點(diǎn) Z_ff 和一對(duì)頻率為 f_Z-2nd 的共軛零點(diǎn) Z_2nd。

f_Zff 的表達(dá)式很復(fù)雜，如方程式 23 所示?？梢宰C明 f_Zff≤f_Pff。

方程式 23.

f_{Zff} =- \frac{1}{2π} \frac{5.67× 10^{15} {(\sqrt{3} \sqrt{{C_{2}}^{3} {C_{ff}}^{4} {L_{2}}^{3} {R_{1}}^{4} (4 {C_{ff}}^{2} {R_{1}}^{2} +27 C_{2} L_{2})} -9 {C_{2}}^{2} {C_{ff}}^{2} {L_{2}}^{2} {R_{1}}^{2})}^{\frac{2}{3}} -1.3× 10^{16} C_{2} {C_{ff}}^{2} L_{2} {R_{1}}^{2}}{1.49× 10^{16} C_{2} C_{ff} L_{2} R_{1} \sqrt[3]{\sqrt{3} \sqrt{{C_{2}}^{3} {C_{ff}}^{4} {L_{2}}^{3} {R_{1}}^{4} (4 {C_{ff}}^{2} {R_{1}}^{2} +27 C_{2} L_{2})} -9 {C_{2}}^{2} {C_{ff}}^{2} {L_{2}}^{2} {R_{1}}^{2}}}

如果將 L₂ 視為沒有 DCR 的電感器設(shè)計(jì)，則共軛零點(diǎn) Z_2nd 位于右半平面中。但對(duì)于 DCR 為幾 mΩ 或更大的實(shí)際電感器或鐵氧體磁珠來說，共軛零點(diǎn)通常會(huì)移到左半平面并具有正阻尼效應(yīng)。

共軛零點(diǎn)頻率 f_Z-2nd 的表達(dá)式非常復(fù)雜。作為指導(dǎo)應(yīng)用設(shè)計(jì)的文章，由于下面的設(shè)計(jì)指南中未利用共軛零點(diǎn) Z₂ 來用于補(bǔ)償相位裕度等任何重要目標(biāo)，因此此處未進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)分析。

通常，頻率 f_Z-2nd 小于 f_P-2nd，并且它們非常接近。C_ff 越大，頻率 f_Z-2nd 就越接近 f_P-2nd。圖 5-3 展示了具有第二級(jí)濾波器和混合檢測(cè)的 PCM 轉(zhuǎn)換器的典型增益響應(yīng)。紅色標(biāo)記的極點(diǎn)和零點(diǎn)是在添加第二級(jí)濾波器后新增的。

圖 5-3 具有第二級(jí)濾波器和混合檢測(cè)的 PCM 轉(zhuǎn)換器環(huán)路響應(yīng)